积分中值定理的推广形式是什么？

1、积分第一中值定理：若f在[a,b]上连续,则至少存在一点c属于[a,b],使得在[a,b]上的积分值等于f(c)(b-a)

推广：若f与g都在[a,b]上连续,且g在[a,b]上不变号,则至少存在一点c属于[a,b],使得f乘以g在[a,b]上的积分等于f(c)乘以g在[a,b]上的积分.

2、积分第二中值定理：设函数f在[a,b]上可积,1：若函数g在[a,b]上递减,且g大于等于0,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)在[a,b]上的积分等于g(a)乘以（f在[a,c]上的积分）.2：若函数g在[a,b]上递增,且g大于等于0,则存在一点d属于[a,b],使得(f乘以g)在[a,b]上的积分等于g(b)乘以（f在[d,b]上的积分）.

推广：设函数f在[a,b]上可积.若g为单调函数,则存在一点c属于[a,b],使得(f乘以g)的积分等于g(a)乘以(f在[a,c]上的积分)加上g(b)乘以(f在[c,b]上的积分)

扩展资料：

积分第二中值定理可以用来证明Dirichlet-Abel
反常 Rieman 积分判别法。

内容：

若f,g在[a,b]上黎曼可积且f(x)在[a,b]上单调，则存在[a,b]上的点ξ使

退化态的几何意义

令g(x)=1，则原公式可化为：



进而导出：






参考资料：积分中值定理_百度百科  

第一定理

如果函数 f(x)、 g(x)在闭区间(a,b)上连续，且 g(x)在(a,b) 上不变号， 则在积分区间(a,b)上至少存在一个点 ，使下式成立：

第二定理

一、如果函数 f(x)、 g(x)在闭区间(a,b) 上可积，且 f(x)为单调函数，则在积分区间(a,b)上至少存在一个点 ，使下式成立：

二、如果函数 f(x)、 g(x)在闭区间(a,b) 上可积,f(x)>=0是单调递减函数，则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点 ， 使下式成立：

三、如果函数 f(x)、 g(x)在闭区间(a,b) 上可积,f(x)>=0是单调递增函数，则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点，使下式成立：

扩展资料

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

参考资料百度百科-积分中值定理

第一定理

如果函数  、  在闭区间[a,b]上连续，且  在  上不变号， 则在积分区间  上至少存在一个点  ，使下式成立：

第二定理

一、如果函数  、  在闭区间[a,b]上可积，且  为单调函数，则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点  ，使下式成立：

二、如果函数  、  在闭区间[a,b]上可积，且  并是单调递减函数，则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点  ， 使下式成立：

三、如果函数  、  在闭区间 [a,b] 上可积，且  并是单调递增函数，则在积分区间[a,b]  上至少存在一个点  ，使下式成立：

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

扩展资料：

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段， 在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

积分中值定理在应用中所起到的重要作用是可以使积分号去掉，或者使复杂的被积函数化为相对简单的被积函数，从而使问题简化。

因此，对于证明有关题设中含有某个函数积分的等式或不等式，或者要证的结论中含有定积分，或者所求的极限式中含有定积分时，一般应考虑使用积分中值定理， 去掉积分号，或者化简被积函数。

参考资料：百度百科-积分中值定理

第一定理

如果函数  、  在闭区间[a,b]上连续，且  在  上不变号， 则在积分区间  上至少存在一个点  ，使下式成立：

第二定理

一、如果函数  、  在闭区间[a,b]上可积，且  为单调函数，则在积分区间 [a,b]上至少存在一个点  ，使下式成立：

二、如果函数  、  在闭区间[a,b]上可积，且  并是单调递减函数，则在积分区间[a,b] 上至少存在一个点  ， 使下式成立：

三、如果函数  、  在闭区间 [a,b] 上可积，且  并是单调递增函数，则在积分区间[a,b]  上至少存在一个点  ，使下式成立：

积分中值定理，是一种数学定律。分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值， 或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法， 是数学分析的基本定理和重要手段。

在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

定理应用：求极限、问题应用、运用估计、不等式证明。